गुणोत्तर व प्रमाण (Ratio and Proportion) | MPSC गणित | MPSC Mathematics
गुणोत्तर व प्रमाण म्हणजे काय ते आपण थोडक्यात समजून घेवू.
गुणोत्तर = जेव्हा दोन किंवा अधिक संख्यांची तुलना भागाकाराने केली जाते तेव्हा त्यास गुणोत्तर असे म्हणतात.
e.g=7:5
प्रमाण = जेव्हा दोन गुणोत्तरे समान आहेत असे दाखवले जाते तेव्हा त्या सर्व संख्या प्रमाणात असतात.
e.g= 3:4=15:20
जर संख्या च्या मध्ये :: हे चिन्ह असेल तर त्या संख्या प्रमाणात आहेत असे मानले जाते..
प्रकार 1 ला
•अ) जेव्हा P, Q ,R ,S या संख्या प्रमाणात असतील म्हणजे च
P : Q : : R : S
तेव्हा P×S=Q×R...असे असते....
•आ) जेव्हा P, Q ,R या संख्या प्रमाणात असतील
आणि जर चतुर्थ प्रमाणपद काढा असा प्रश्न प्रकार असेल तर.
=P : Q : : R : चतुर्थ प्रमाणपद
=P × चतुर्थ प्रमाणपद = Q × R
= चतुर्थ प्रमाणपद = (Q × R)/P या पद्धतीने सोडवावा.
इ) जेव्हा P ,Q ,R , या संख्या प्रमाणात असतील म्हणजे च P : Q :: Q : R
तेव्हा geometric mean काढण्याची पद्धत
Q = √(PR)
•ई) जेव्हा दोन्ही संख्या प्रमाणात असतील आणि जर तृतीय प्रमाणपद काढा असा प्रश्नप्रकार असेल तर
= P : Q : : Q : तृतीय प्रमाणपद
P × तृतीय प्रमाणपद = Q × Q
तृतीय प्रमाणपद = (Q × Q)/P
अशा पध्दतीने सोडवावा...
⚡️⚡️प्रकार 2 रा ⚡️⚡️
समजा जर 2 व्यक्तींच्या नफ्याचे गुणोत्तर 3:4 आहे. त्या दोघांना मिळून 287 नफा झाला तर दोघांचा नफ्यातील हिस्सा किती?
.....असा जर प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा :
सोडवण्याची पध्दत =
प्रथम 287 ला 3:4 मध्ये विभागा....
म्हणजेच 287/(3+4)= 287/7=41
.....दिलेले गुणोत्तर 3:4 आहे म्हणून
.....3×41=123₹
.....4×41=164₹
म्हणजे च दोघांचा नफ्यातील हिस्सा अनुक्रमे 123₹ व 164₹ आहे.....
.....अशा पध्दतीने दिलेला प्रश्न प्रकार सोडवावा....
⚡️⚡️प्रकार 3 रा ⚡️⚡️
समजा जर दोन संख्यांची बेरीज 50 असेल व त्या दोन संख्यांची वजाबाकी 40 असेल तर त्या दोन संख्यांचे गुणोत्तर किती असेल?
असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा =
सोडवण्याची पध्दत :
...(50+40)/(50-40)=90/10
=9/1
म्हणजेच त्या दोन संख्या चे गुणोत्तर 9:1 येईल....
अशा पध्दतीने सोडवावा...
प्रकार 4 था
समजा जर एका बॅगेमध्ये 50paise,25paise व 10paise या प्रकारची नाणी 5:9:4 या गुणोत्तरात आहेत. जर त्या पिशवीत एकूण 206 ₹ असतील तर प्रत्येक प्रकारची नाणी किती असतील?
.......असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा......
सोडवण्याची पध्दत =
......वरील उदाहरणात
....50paise ची 5x नाणी असतील.
म्हणून 50×5x=250x
....25paise ची 9x नाणी असतील.
म्हणून 25×9x=225x
....10paise ची 10x नाणी असतील.
म्हणून 10×4x=40x.
....250x+225x+40x=515x
एकूण दिलेले रूपये=206₹
परंतु नाणी पैसे मध्ये आहेत.
....म्हणून 206₹=20600paise
....515x=20600
....x=20600/515
....x=40
50 पैसे नाणी =5x=5×40=200
25 पैसे नाणी =9x=9×40=360
10 पैसे नाणी =4x=4×40=160
....म्हणजेच 50पैसे,25पैसे,10पैसे अशी अनुक्रमे 200,360,160 नाणी आहेत....
अशा पध्दतीने सोडवावा.....
प्रकार 5 वा
⚡️⚡️मिश्रणावरील काही उदाहरणे......⚡️⚡️
...जर एका मिश्रणात दूध व पाणी यांचे गुणोत्तर 2:3 आहे. त्यामध्ये आणखी 10 ltr पाणी मिसळल्यामुळे ते गुणोत्तर 1:2 होते तर सुरूवातीला किती ltr दूध व पाणी होते?
असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा :
सोडवण्याची पध्दत =
...दूध व पाणी यांचे गुणोत्तर 2:3 आहे. म्हणून दूध = 2x
पाणी = 3x
त्यामध्ये आणखी 10 ltr पाणी मिसळले
तर दूध = 2x
पाणी = 3x+10
पाणी मिसळल्यामुळे त्याचे गुणोत्तर 1:2 झाले.....म्हणून...
.....2x/(3x+10)=1/2
.....4x=3x+10
.....4x-3x=10
.....x=10
म्हणून दूध = 2x = 2×10=20 ltr
पाणी = 3x = 3×10=30 ltr
म्हणजेच दूध व पाणी चे प्रमाण सुरूवातीला अनुक्रमे 20 ltr व 30 ltr होते ...
⚡️⚡️प्रकार 6 वा ⚡️⚡️
समजा जर एका 50 ltr च्या मिश्रणात दूध व पाणी यांचे गुणोत्तर 3:7 आहे. त्यामध्ये आणखी किती ltr दूध मिसळावे. म्हणजे दूध व पाणी यांचे गुणोत्तर 6:7 होईल?
असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा......
सोडवण्याची पध्दत =
......दूध/पाणी = 3/7
......मिश्रण = 50 ltr
...म्हणून 50 ltr ला 3:7 मध्ये विभागले.
तर x = 5
...दूध = 15 ltr
...पाणी = 35 ltr
आणखी x ltr दूध मिसळावे लागेल असे मानू......
म्हणून दूध = 15+x
पाणी = 35
x ltr दूध मिसळल्यामुळे गुणोत्तर 6:7 होईल.
(15+x)/35=6/7
105+7x=210
7x= 105
x= 15
म्हणजेच 15 ltr दूध मिसळावे लागेल......
⚡️⚡️प्रकार 7 वा ⚡️⚡️
समजा, जर एका 60 kg च्या संमिश्रामध्ये तांबे आणि पितळ यांचे गुणोत्तर 3:2 आहे. दुसर्या एका 100 kg च्या संमिश्रामध्ये पितळ व सोने यांचे गुणोत्तर 4:1 आहे. या दोन्ही संमिश्रापासून तिसरे संमिश्र बनवले तर त्यात किती kg पितळ येईल?
असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा......
सोडवण्याची पध्दत =
....पहिले संमिश्र = 60 kg व त्याचे गुणोत्तर 3:2 तर....
60 kg ला 3:2 मध्ये विभागा....
तर..तांबे = 36kg
..पितळ = 24kg
....दुसरे संमिश्र = 100 kg व त्याचे गुणोत्तर 4:1 तर....
100 kg ला 4:1 मध्ये विभागा.....
तर ..पितळ = 80kg
..सोने = 20kg
या दोन्ही संमिश्रापासून तिसरे संमिश्र बनवले तर त्यामध्ये....
एकूण पितळाचे प्रमाण = 24+80
= 104 kg
म्हणजेच तिसर्या संमिश्रात पितळाचे प्रमाण 104 kg असेल....
⚡️⚡️प्रकार 8 वा ⚡️⚡️
समजा जर A या संमिश्रामध्ये सोने आणि पितळ यांचे गुणोत्तर 7:2 आहे.B या संमिश्रामध्ये सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर 7:11 आहे. ही दोन्ही संमिश्रे समान प्रमाणात घेऊन मिसळले व त्यापासून तिसरे संमिश्र बनवले तर त्यात सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर किती येईल?
असा प्रश्न प्रकार असेल तर पुढील पध्दतीने सोडवावा...
सोडवण्याची पध्दत =
.... A मध्ये सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर 7:2 आहे ...तर संमिश्र = x मानू....
म्हणून A या संमिश्रात सोने = 7x/9 व पितळ = 2x/9
....B मध्ये सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर 7:11 आहे... तर संमिश्र = x मानू....
म्हणून B या संमिश्रात सोने = 7x/18 व
पितळ = 11x/18
A व B दोन्ही संमिश्रे समान प्रमाणात घेऊन मिसळले म्हणून A व B मध्ये आपण x हे संमिश्र मानले ...
A व B संमिश्र एकत्र केले असता
एकूण सोने = (7x/9)+(7x/18)
=21x/18
एकूण पितळ = (2x/9)+(11x/18)
= 15x/18
सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर =
.....एकूण सोने/एकूण पितळ
.....=(21x/18)/(15x/18
.....=7:5
म्हणजेच तिसर्या संमिश्रात सोने व पितळ यांचे गुणोत्तर 7:5 आहे.
